Циклические подгруппы и группы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВПО "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Факультет естественнонаучного и математического образования

Кафедра математики, алгебры и математического анализа


КУРСОВАЯ РАБОТА

Циклические подгруппы и группы


Исполнитель: студентка 2 курса

факультета математики, информатики и физики

Щелчкова К.В.

Научный руководитель: ст. пр. Авдеева А.А.


Ростов-на-Дону


Оглавление


Введение

Теоретическая часть

§ 1. Группы. Различные определения. Примеры

§ 2. Свойства групп

§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы

§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы

§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее

Заключение

Литература


Введение


Данная работа посвящена рассмотрению темы "Циклические подгруппы и группы".

Теория групп - раздел общей алгебры <#"justify">·Изучить и изложить элементы теории групп, подгрупп.

·Самостоятельно подобрать и выполнить упражнения практического характера.

Теоретическая часть


§ 1. Группы. Различные определения. Примеры


Определение 1. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если А - полугруппа, в которой каждый элемент имеет нейтрализующий.

Определение 2. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если бинарная операция "*" ассоциативна и обратима на множестве А.

Определение 3. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям:

)операция "*" ассоциативна;

2)существует нейтральный элемент е такой, что A * e = e * A = A;

3)для любого элемента а А существует обратный или нейтрализующий элемент á такой, что


а * á = á * а = е.


Определение 4. Группа <А, *> называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция "*" коммутативна на множестве А.

Определение 5. Группа <А, *> называется конечной, если количество ее элементов конечно, и бесконечной, если количество ее элементов бесконечно.

Количество элементов конечной группы называется ее порядком.

Важные примеры групп:

.Полная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).


<GLn (P),. >, где GLn (P) = { (aij) n×n: det (aij) ?0, aij P, i,j = }


2.Специальная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).


<SLn (R),. >, где SLn (R) = { (aij) n×n: det (aij) = 1, aij R, i,j = }


3.Группа кватернионов.


<Q8,. >, где Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, i2 = j2 = k2 = - 1; ij = k, ki = j, jk = i, ji = - k, ik = - j, kj = - i, конечная группа 8-го порядка.


4.Группа преобразований.

< ?>, где - множество обратимых преобразований множества А,

А ?, "°" - суперпозиция (произведение, композиция) преобразований.

5.Группа подстановок n-ой степени или симметрическая группа <Sn,°> подстановок n-ой степени, где Sn - множество подстановок n-ой степени.

6.Знакопеременная группа <An,°> подстановок n-ой степени, где An - множество четных подстановок n-ой степени, An Sn, "°" - суперпозиция подстановок.

.Четверная группа Клейна.


<V,°>,


где V = {e, a, b, c} A4 S4, A4 - знакопеременная группа подстановок 4-ой степени, S4 - симметрическая группа подстановок 4-ой степени.

8.Группа остатков по данному модулю или группа вычетов по данному модулю, или группа классов вычетов по данному модулю.


§ 2. Свойства групп


Пусть алгебраическая система <А,*> - группа.

Свойство 1. Бинарная операция "*" сократима в группе:


a, b, с A из равенств a * b = a * c (1), b * a = c * a (2) => b = c (3).


Доказательство.

(1) => (3)


a * b = a * c | * a слева

а * (a * b) = a * (a * c) =>ассоциативность "*" (a * a) * b = (a * a) * c =>условие 3 определения группы e * b = e * c =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).

(2) => (3)* a = c * a (2) => b = c (3)* a = c * a | * a справа

(b * a) * a = (c * a) * a =>ассоциативность "*" b * (a * a) = c * (a * a) => условие 3 определения группы b * e = c * e =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).


Свойство 2. Нейтральный элемент единственен.

Доказательство.

Пусть е, е1 - два нейтральных элемента группы. Покажем, что е1 = е.

Пусть а = е, е1 - нейтральный элемент группы А относительно операции "*": е * е1 = е1 * е = е (1).

Пусть а = е1, е - нейтральный элемент группы А относительно операции "*": е1 * е = е * е1 = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что е1 = е.

Свойство 3. Нейтрализующий для каждого элемента группы единственен.

Доказательство.

Пусть a1, a2 - два нейтрализующих элемента для а А. Справедливы равенства:


а * a1 = a1 * a = е (1), a2 * a = a * a2 = е (2)


Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что a1 * a = a2 * a => a1 = a2 = a.

Свойство 4. Нейтрализующий для произведения двух элементов равен "произведению" нейтрализующих для сомножителей, взятых в другом порядке: (a * b) = b * a.

Доказательство.

Справедливо равенство (a * b) * (b * a). Действительно, в силу обобщенной ассоциативности, имеем a * (b * b) * a = e свойство нейтрализующего элемента


a * e * a = e =>ассоциативность (a * e) * a = e =>свойство нейтрального элемента a * a = e =>свойство нейтрализующего элемента е = е.


Свойство 5. Нейтрализующий для нейтрализующего к элементу а равен самому элементу а.

Доказательство.

Справедливы равенства:


а * a = a * a = е (1) и а * (a) = (a) * a = е (2)


Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что


а * a = (a) * a =>свойство 1 группы сократимость справа (a) = a.


Свойство 6. Уравнения a × x = b (1) и y × a = b (2) однозначно разрешимы. Иначе говоря, уравнения (1) и (2) имеют в группе единственное решение.

Доказательство.

а) Покажем, что уравнение (1) разрешимо:


а * х = b | * á слева

á * (a * x) = á * b =>ассоциативность "*" (á * a) * x = á * b =>свойство нейтрализующего e * x = á * b =>свойство нейтрального x = á * b => уравнение (1) разрешимо.


б) Покажем, что уравнение (1) однозначно разрешимо:


a * x = b | * á слева

á * (á * x) = á * b => (á * a) * x = á * b => e * x = á * b => x = á * b;

а * х = b | * á справа

(a * x) * á = b * á => a * (x * á) = b * á => a * e = b * á => x = b * á => уравнение (1) однозначно разрешимо.


§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы


Пусть А ? <А, ·> - мультипликативная группа,

Н - подмножество множества А, Н ?.

Определение 1. <Н,·> - называется подгруппой мультипликативной группы А, если выполняются следующие условия:

1.Н - замкнуто относительно бинарной операции "*" а, b Н, ab H;

2.Существует еН = еА - единственный элемент относительно "°";

3.а Н существует а-1 Н.

Определение 2. Если Н = А или Н = {е}, то <Н,·> - называется несобственной подгруппой группы А.

Если Н А, Н - собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А.

Н = А - сама группа А.

Н = {е} - единичная подгруппа.

циклическая подгруппа группа мультипликативная

Пример. Является ли <А, ·>, где А = {1, - 1, i, - i}, i - мнимая единица, группой?

Решение.

) Проверим условия мультипликативной группы.

"·" - бинарная ассоциативная операция на множестве А.


Таблица Кэли для "·" на множестве А.

"·"1-1i-i11-1i-i-1-11-iiii-i-11-i-ii1-1

2) еН = 1 А: а А а × 1 = 1 × а = а;

) а А а-1 А


Элемент11i-iНейтрализующий элемент1-1-ii

<А, ·> - подгруппа.

Важным примером мультипликативных подгрупп являются так называемые мультипликативные циклические подгруппы.

Пусть <А, ·> - группа. Элемент е А - единичный элемент. Элемент а ? е, а А.

(а) - множество целых степеней элемента а: (а) = {х = аn: n Z, a A, a ? e}

Справедлива

Теорема 1. < (а), ·> является подгруппой группы <А, ·>.

Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы.

) Н = (а) - замкнуто относительно "·":


х = аn, y = al, n,e Z, x, y Н, xy = anal = an+l H, т.к. n + l Z;

) e = 1 = a0 H, A: x H xa0 = a0x = x;

) x = a H, x-1 = a-n Н: ana-n = a-nan = a0 = 1.


Из 1) - 3) по определению Н имеем < (а), ·> - подгруппа мультипликативной группы А.

Определение 3. Пусть <А, ·> - некоторая мультипликативная группа и


а ? е, а А.


Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n такое, что аn = е.

Пример. Найти порядки элементов а = - 1, b = i, c = - i мультипликативной группы А = {1; - 1; i; - i}


1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Следовательно,


n = 2 - порядок элемента - 1.


i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Следовательно,


n = 4 - порядок элемента i.


i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Следовательно,


n = 4 порядок элемента - i.

Теорема 2. Пусть <А, ·> - группа, а А, а ? е, а - элемент n-го порядка, тогда:

) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1} -

n - элементное множество неотрицательных степеней элемента а;

) Любая целая степень элемента аk, k Z, принадлежит множеству (а) и


ak = e <=> k = nq, n N, q Z.


Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны. Предположим противное: ak = al, k > l, тогда ak-l = e. k - l < n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Покажем, что аk, К Z, принадлежит множеству (а).


Пусть k = n, k: n, ak = anq + r = ak × anq + r = (an) q × ar = eq × ar = e × ar = ar,

? r ? n ? 1 => ak (a). Если r = 0, то k = nq <=> ak = e.


Определение 4. Подгруппа < (а), ·>, где (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1}, группы А, а - элемент n-го порядка, называется циклической подгруппой группы А (мультипликативной циклической подгруппой группы А).

Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой <А, ·>, < (а), ·>, мультипликативной циклической подгруппой, называется циклической группой.

Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является абелевой.

Доказательство. А = (а), а ? е, а - образующий элемент группы


ak, al A, ak × al = al × ak. Действительно, ak × al = ak+l = al+k = al × ak, l,k Z.


§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы


Определение 1. Пусть <A,+> - аддитивная группа, Н - подмножество А,

Н ?.

<Н,+> называется подгруппой аддитивной группы А, если выполняются следующие условия:

) Н замкнуто относительно "+": a, b H, a + b H;

) Существует еН = еА - нулевой элемент относительно операции сложения

) а Н существует противоположный - а Н.

Пример 1.

<Q,+>, где Q - множество рациональных чисел, является группой рациональных чисел. Z Q, Z ? .

<Z,+> - подгруппа группы Q. Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:

) Z замкнуто относительно "+": a, b Z, a + b Z;

) Существует еZ = еQ = 0 - нулевой элемент относительно операции сложения;

) а Z существует противоположный - а Z.

Определение 2. Если Н = А и Н = {е}, то подгруппа <H,+> называется несобственной подгруппой группы А.

Если Н А, то подгруппа <H,+> называется собственной подгруппой группы А.

Пример 2.

Н1 = Q - несобственная подгруппа группы Q,

Н2 = {0} - несобственная (нулевая) подгруппа группы Q,

Н3 = Z - собственная подгруппа группы Q.

Пусть <A,+> - аддитивная группа.

Через (а) обозначим множество всех кратных элементов а А, а ? е:


(а) = {x = na: a Z}.


Справедлива

Теорема 1. < (a),+>, где (а) = {x = na: a Z}, является подгруппой группы А.

Доказательство.

Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:

) (а) замкнуто относительно "+":


х, у (а) х + у ? (а).


Действительно, пусть x = na, y = la, n, l Z.


x + y = na + la = (n + l) a (a), n + l Z.


2) Существует е (а) = еА = 0 × а = 0;

) х (а) существует противоположный - х (а), x = na - x = - (na) = (-n) a (a).


Из 1) - 3) =>по определению < (a),+> - подгруппа группы А.


Определение 3. Пусть А - аддитивная группа, <A,+>, а А, а ? е. Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n, такое что na = e, е - нулевой элемент.

Определение 4. Подгруппа < (a),+> группы <A,+>, а - элемент n-го порядка, вида (а) = {0а, 1а, …, (n-1) а} называется аддитивной циклической подгруппой группы А, порожденной элементом а.

Определение 5. Группа <A,+>, совпадающая со своей циклической подгруппой <A,+> = < (a),+>, называется циклической группой. Элемент а называется образующим элементом группы.

Теорема 2. Всякая аддитивная циклическая подгруппа абелева.

Доказательство.


<A,+> = < (a),+>, (a) = {na: n Z}.


na, ka (a) справедливо равенство na + ka = ka + na. Действительно,


na + ka = (n + k) a = (k + n) a = ka + na.


§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее


Теорема Лагранжа. Пусть <А, ·> - конечная мультипликативная группа порядка n. Н - некоторая ее подгруппа порядка k. Индекс подгруппы Н в группе А и ее порядок являются делителями порядка группы. Иначе говоря, справедливо равенство: n = k×l, l = A: H, l - индекс подгруппы.

Доказательство.

Запишем левостороннее разложение группы А по подгруппе Н.


А = Н а1Н … ае-1Н,

|A| = |H| + |а1Н| + … + |ае-1Н|,

|A| = n, |H| = k, n = k + k + … + k = k×l.

l раз


Следствие 1. Порядок элемента а, а ? е, <А, ·> = < (а), ·> n-го порядка, является делителем порядка группы.

Следствие 2. Всякая циклическая группа <А, ·> = < (а), ·> простого порядка n = p имеет только две несобственные подгруппы:

Н1 = {e} - единичная подгруппа,

H2 = A - сама группа.

Следствие 3. Все циклические подгруппы циклической группы

<А, ·> = < (а), ·> n-го порядка имеют вид:


Hi = {a0 = e, ad, a2d, …, a (k-1) d}, i = 1, 2, …,


где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k×d,

k - порядок подгруппы.

Следствие 4. Все циклические подгруппы аддитивной циклической группы <Zn, +> n-го порядка имеют вид:


Нi = {0, d, 2d, …, (k-1) d}, i = 1, 2, …,


где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k×d, k - порядок подгруппы.

Практическая часть.

1.<Z, - > - группа? Если да, то является ли она коммутативной (абелевой)?

Решение.

1) Бинарная операция "-" не ассоциативна: a, b c Z


(a - b) - c ? a - (b - c) => <Z, - > не является группой,

<Z, - > - не группа.


2.А - множество целых чисел, кратных любому натуральному числу n относительно сложения.

Решение.


А = nZ = {x: x = nk, k Z, n N, n - фиксированное натуральное число}.

<A, +> - группа?


Решение.

1)Проверим, является ли "+" бинарной операцией на множестве А.


Пусть x = nk, y = nl, k, l Z x, y A. + y = nk + nl = n (k + l) A, k + l Z =? "+" - бинарная операция на множестве А.


Проверим, является ли "+" ассоциативной операцией на множестве А.


x, y, z, z = np, p Z,

(x + y) + z = x + (y + z). Действительно,

(nl + nk) + np = nk + (nl + np),

n (l + k) + np = nk + n (l + p) - это равенство выполняется, т.к. "+" целых чисел - ассоциативная операция => "+" ассоциативная операция на А.


2)Существует ли нейтральный элемент относительно "+"?

х А выполняются ли равенства х + е = е + х = х?

Рассмотрим равенство х + е = х


nk + e = nk, e = 0 = n0 A.


е - существует относительно "+".

)Существует ли х` А относительно операции "+"?


х + х` = х` + х = е?


Рассмотрим равенство х + х` = е.


х` = е - nk = n0 - nk = n (0 - k) = n (-k), - k Z => х` A x A


Из 1) - 3), по определению группы, => данная система является группой, аддитивной группой.

4)Проверим, является ли группа коммутативной.

х, у А выполняется ли равенство х + у = у + х?


nk + nl = nl + nk

n (k + l) = n (l + k) - выполняется, так как "+" - коммутативная операция на Z.


Из 1) - 4) => алгебраическая система <A, +> - коммутативная аддитивная группа.

3.<Q, ·> - группа?


Q = {x: x = m/n, m Z, n N}.


Решение.

1)Проверим, является ли умножение бинарной операцией на Q.


y = k/l, k Z, l N.

xy = m/n * k/l = mk/nl Q => "·" - бинарная операция на Q.


Проверим, является ли "·" ассоциативной операцией на Q.


z = p/q, p Z, q N, x, y, z Q: x · (y · z) = (x · y) · z?

Проверка: x · (y · z) = m/k · (k/l · p/q) = m/n · kp/lq = m/n · (kp/lq) = "·" ассоциативна на Z, N (mk) p/ (nl) q = mk/nl · p/q = (m/n · k/l) · p/q = (x · y) · z.


"·" ассоциативная операция на Q => 1) условие группы выполняется.

2)Существует ли нейтральный элемент относительно "·" на Q?


x · e = e · x = x? x Q, x · e = x, e = 1 Q


3)Существует ли х' относительно операции "·" на Q?


x Q, х · х' = х' · х = е? х · х' = е = 1,х · х' = 1,х'= 1/x, x ? 0 => не выполняется, элемент х = 0 не имеет обратного.

<Q, ·> - не является группой.


4.<R\{0}, ·> - группа? Если да, является ли она абелевой?

Решение.


1) a, b R\{0} a · b = с R\{0} => "·" - бинарная операция на множестве R\{0};

a, b, c х R\{0}, a · (b · c) = (a · b) · c => "·" - ассоциативная операция на множестве R\{0} = R*.


2)Существует ли нейтральный элемент на множестве R\{0}?


a R*, а · е = е · а = а.


Рассмотрим равенство а · е = а, е = 1 R\{0} => существует е R\{0}.

3)Существуют нейтрализующий элемент а'?


a R*. а' · а = а' · а = е = 1, а' = 1/а = х-1 ? R\{0}.

Из 1) - 3) => <R\{0}, ·> - группа.


4.Найти порядок a = (1243) S4

S4 - симметрическая группа подстановок 4 - ой степени.

an = e, n - натуральное.


a = ? e,2 = * = ? e,3 = * = ? e,4 = * = = e,4 = e, n = 4 - порядок группы.

5.S3 = {0 = e, 1, 2, …, 5}

1 = n = - ?, n = 1, 1 ? e, n = 2

12 = = = 2.

2 = n = e- ?, n = 1 - ?, 2 ? e, n = 2

22 = * = = e.


Заключение


В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Работа выполнена согласно методическому плану. Цели и задачи курсовой работы достигнуты. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы "Циклические подгруппы и группы" отработаны. Теоретическая часть написана с помощью анализа учебной литературы, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал.

Тема "Циклические подгруппы и группы" в настоящее время является актуальной, т.к. теория групп - один из разделов общей алгебры.

Литература


1.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: учебник для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2.Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник - М.: ТК Велби, издательство Проспект, 2007.

.Нечаев И.В. Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение, 1983.

.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.

.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1977.

.Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. - М.: Просвещение, 1993.

.Щипачев B. C. Основы высшей математики.4-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 2001.

.А.М. Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. - Кр-ск, РИО КГПУ, 2001.

.Л.Я. Окунев. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.

.Ф.Л. Варнаховский, А.С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. - М.: Просвещение, 1978.


Теги: Циклические подгруппы и группы  Курсовая работа (теория)  Математика
Просмотров: 49230
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Циклические подгруппы и группы
Назад